Основные идеи решения рациональных неравенств основываются на методе интервалов и алгебраическом подходе.  

Если же функцию в левой части можно разложить на линейные множители, то используют алгебраический подход к решению. Начнем, как раз, с алгебраического подхода.

Требуется решить неравенство:  ( 4x + 3)(x + 5)(3x – 2)^2(x – 6)^3≤ 0  (1)

во вложенном файле вы найдете более подробное описание, здесь же изложу более кратко. 

первое, заметим, что в каждой скобке стоит линейное выражение kx + b, причем k > 0  и это очень важно для нас.    Вот это kx + b , будем рассматривать как разность kx – (-b).  В нашем примере, скажем, 4x + 3 подразумеваем 4x – (-3).

Второе   Ведь левая часть , представляет собой некоторую функцию, график которой можно было бы построить.   Тот интервал, на котором часть графика, что лежит выше ОХ мы обозначаем “+”, а те интервалы, где график лежит ниже обозначаем “ – “ . 

Но мы с вами график не сторим. Нам важно найти грпницы этих интервалов.

Поэтому мы ищем нули функции.  Для этого приравниваем левую  часть нашего выражения к 0. Думаю, что такой уж необходимости переписывать выражение  ( 4x + 3)(x + 5)(3x – 2)^2(x – 6)^3  (*)  и  ставить = 0, нету. В 9-ом и 10 -ом, а уж в 11 – ом и подавно, все сразу правильно укажут нули.

Это – 3/4,  – 5,  2/3 и 6.

Строим числовую ось и отмечаем на ней найденные точки( нули функции) .

Давайте разберемся, откуда эти знаки?

Так как, в выражении (*) все kx стоят слева и k > 0,  то какое бы х > 6 мы не брали, разности  kx – (– b) будут положительными.

Т.о. , если в выражении (k1x + b1)n1(k2x + b2)n2...(kmx + bm)nm  (**)  все ki > 0, где i = 1,2,3…,m, то самый правый крайний интервал будет иметь знак “+”.

Теперь замечаем, что у выражения (x – 6)3 нечетный показатель.

 Посмотрите, при 2/3 < x < 6 выражение  (x – 6)3 становится отрицательным, а все остальные множители продолжают оставаться положительными.

Далее, при переходе через точку 2/3 знак не поменяется, поскольку  (3x – 2) стоит в четной степени т.е  (3x – 2)2 .                      При  – 3/4 < x < 2/3  это выражение (3x – 2)2 не меняет знак ( поскольку в четной степени), а остальные остаются положительными. 

Ответ в нашем неравенстве 

Поэтому и возникает алгоритм:

Добиваемся, чтобы во всех выражениях  kx ± m  kx было слева и k > 0, тогда самый крайний правый интервал будет всегда с «+»

Помним, что выражениях с четным показателем ( kx ± m)^2n  и | kx ± m |  kx и m можно менять местами без изменения знака всего выражения.

Выписываем значения х, при которых каждая скобка обращается в 0 и наносим эти значения на числовую ось

изображаем интервалы и расставляем знаки: При переходе через четную степень или модуль знак сохраняем , при переходе через нечетную степень знак меняем на противоположный.

Метод интервалов

В основе метода лежит идея сохранения знака на интервале непрервыной на этом интервале функции. 

т.е. Если a и b нули функции y = f(x) и на интервале (a; b) функция непрерывна, то для любого x из этого интервала

f(x) >0 или f(x)<0

Поэтому для решения неравенств методом интервалов используют следующий алгоритм:

Приводим неравенство к виду f(x) > 0 или f(x) <0

Находим нули функции (для этого решаем уравнение f(x) = 0) и точки разрыва (точки, в которых функция не определена). Эти точки называют точками смены знаков

разбиваем множество дейсительных на интервалы , граничными точками которыхяляются точки смены знаков.

В каждом интервале определяем знак функции, находя значение функции в некоторой точке этого интервала

строим числовую ось, отмечаем найденные интервалы, расставляем знаки, и записываем решение неравенства.