Т1. Пусть функция y = f(x) диференцируема на интервале (a; b). Функция   y = f(x) является постоянной на (a; b) тогда и только тогда, когда   f’(x) = 0 при любом х из интервала (a; b)

Следствие:  Если для дифференцируемых на интервале (a; b) функций  y = f(x) и  y = g(x) выполняется равенство f’(x) = g’(x) , то для   , где С – некоторая константа.

Т2. Если дифференцируемая функция  y = f(x) возрастает на интервале (a; b), то  при    

 Если дифференцируемая функция  y = f(x) убывает на интервале (a; b), то при     

Таким образом, если мы знаем, что имеем дело с монотонной на интервале (a; b) функцией, то  или  в зависимости от характера монотонности.

Т3. Если функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и f’(x) > 0  ( f’(x) < 0 ) при любом x из этого интервала , то функция возрастает ( убывает) на этом интервале.

Замечание:   Если при этом функция непрерывна на отрезке [a; b]  и для любого x из интервала (a; b) и f’(x) > 0  ( f’(x) <  0 ), то функция y = f(x) возрастает ( убывает) наотрезке [a; b] 

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ.

1. Найти промежутки монотонности функции f(x) = sin²x + 3x – 21

Решение: D(f) = R    f’(x) = (sinx)’2sinx + 3 = cosx 2sinx + 3 = sin2x + 3

D(f’) = R и, всилу того, что,     т.е sin2x + 3 > 0 при любом х из D(f’) = D(f) 

таким образом при любом х из R f’(x) > 0, следовательно функция y = f(x) возрастает на всей числовой прямой.

2.  Найти промежутки монотонности функции       

.      

Итак, видим, что функция дифференцируема на каждом из интервалов области определения.

   . Заметим, что неполный квадрат суммы ( разности) a² + ab + b² > 0, при любых значениях а и b, одновременно не равных 0

Выписывая нули числителя и знаменателя получаем

х = 0 это точка бесконечного разрыва (полюс) для функции f(x)  и она является точкой смены знака производной. Но эта точка не является критической

x =   – критическая точка и на основании признака является точкой максимума функции f(x) .  

Итак, из рисунка видим, что f ’(x) > 0 на интервалах  и . Учитывая непрерывность функции в точке x =   функция возрастает на каждом из промежутков : и 

f ’(x) < 0 на интервале  и с учетом непрерывности функции в точке x =   убывает на