1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁   AD = 4,    DC = 3, боковое ребро равно 12. Через диагональ B₁D  и точку М на ребре АА₁  проведено сечение параллельное диагонали нижней грани AC. а) Построить это сечение и определите его вид. б) В каком отношении точка М делит отрезок АА1 ?  в) Найдите угол между  B₁D  и  AC.  г) Найти площадь этого сечения.

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁  AD = 6, DC = 3, DD₁ = 8. Через точку М – середину ребра В₁С₁ и диагональ боковой грани DA₁  провели сечение.  а) Определить вид сечения. б) Найдите площадь сечения; в) Пересекаются ли прямая   МA₁ с линией пересечения плоскости DA₁M  и плоскости DD₁C? Если да, то найдите расстояние от точки пересечения до грани BB₁C₁.
2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки Е,F – середины рёбер соответственно А₁В₁ и В₁С₁. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВF.
   Ответ: 0,8
3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 проведено сечение через точки M и N, расположенные на серединах отрезков A₁B₁ и B₁C₁ соответственно, и центр нижнего основания – точку О. Надо найти площадь этого сечения.

1) Понятно, что сечение пересекает верхнюю грань куба по прямой MN. 

2) Сечение пересечет нижнее основание по прямой, проходящей через точку О и параллельной прямой MN (Прямая MN параллельна плоскости ABC? Почему?)

3) Этой прямой будет АС. ( MN – средняя линия треугольника ________ ?  Значит MN || _______ . Четырехугольник ACC₁___ – прямоугольник поэтому ______ || _______  => AC || MN)

4) Сечение пересекает боковые грани куба AA₁B₁B и BB₁C₁C по прямым _____ и _____ соответственно

получим  сечение AMNC 

5) Обоснуйте, что AMNC трапеция. Найдите ее стороны, высоту и затем площадь.  У меня получилось: 

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ сечение проходит через точки M, N и D. М лежит на отрезке АА₁ так, что AM : MA₁ = 1 : 3, точка N лежит на отрезке BB₁ так, что BN : NB₁ = 3 : 1 . Построить сечение и найти его периметр, если АВ = AD = 6, DD₁ = 8

Решение:

Фрагмент построения сечения:В сечении получится четырехугольник. Будет ли этот четырехугольник параллелограммом? Рассматривая подобие треугольников находятся стороны сечения. Ну, а потом и его периметр.  Мой ответ