Как решать нелинейные неравенства? Да в общем то не так уж и сложно это делается, если к этому делу подойти с умом .  

Если же функцию в левой части можно разложить на линейные множители, то используют алгебраический подход к решению. Начнем, как раз, с алгебраического подхода.

Требуется решить неравенство:  ( 4x + 3)(x + 5)(3x – 2)²(x – 6)³≤ 0  (1)

во вложенном файле вы найдете более подробное описание, здесь же изложу более кратко. 

первое, заметим, что в каждой скобке стоит линейное выражение kx + b, причем k > 0  и это очень важно для нас.    Вот это kx + b , будем рассматривать как разность kx – (-b).  В нашем примере, скажем, 4x + 3 подразумеваем 4x – (-3).

Второе   Ведь левая часть , представляет собой некоторую функцию, график которой можно было бы построить.   Тот интервал, на котором часть графика, что лежит выше ОХ мы обозначаем “+”, а те интервалы, где график лежит ниже обозначаем “ – “ . 

Но мы с вами график не сторим. Нам важно найти грпницы этих интервалов.

Поэтому мы ищем нули функции.  Для этого приравниваем левую  часть нашего выражения к 0. Думаю, что такой уж необходимости переписывать выражение  ( 4x + 3)(x + 5)(3x – 2)²(x – 6)³  (*)  и  ставить = 0, нету. В 9-ом и 10 -ом, а уж в 11 – ом и подавно, все сразу правильно укажут нули.

Это – 3/4,  – 5,  2/3 и 6.

Строим числовую ось и отмечаем на ней найденные точки( нули функции) .

Давайте разберемся, откуда эти знаки?

Так как, в выражении (*) все kx стоят слева и k > 0,  то какое бы х > 6 мы не брали, разности  kx – (– b) будут положительными.

Т.о. , если в выражении (k₁x + b₁)^n₁(k₂x + b₂)^n₂...(k_mx + b_m)^n_m  (**)  все k_i > 0, где i = 1,2,3…,m, то самый правый крайний интервал будет иметь знак “+”.

Теперь замечаем, что у выражения (x – 6)³ нечетный показатель.

 Посмотрите, при 2/3 < x < 6 выражение  (x – 6)³ становится отрицательным, а все остальные множители продолжают оставаться положительными.

Далее, при переходе через точку 2/3 знак не поменяется, поскольку  (3x – 2) стоит в четной степени т.е  (3x – 2)² .                      При  – 3/4 < x < 2/3  это выражение (3x – 2)² не меняет знак ( поскольку в четной степени), а остальные остаются положительными. 

Ответ в нашем неравенстве 

Поэтому и возникает алгоритм:

1. Добиваемся, чтобы во всех выражениях  kx ± m  kx было слева и k > 0, тогда самый крайний правый интервал будет всегда с «+»

Помним, что выражениях с четным показателем ( kx ± m)²ⁿ  и | kx ± m |  kx и m можно менять местами без изменения знака всего выражения.

2. Выписываем значения х, при которых каждая скобка обращается в 0 и наносим эти значения на числовую ось
3. изображаем интервалы и расставляем знаки: При переходе через четную степень или модуль знак сохраняем , при переходе через нечетную степень знак меняем на противоположный.

В приложении, во вложенном файле, вы найдете более подробное описание алгебраического подхода и задания для самостоятельной работы.