Задача 1.

В треугольнике АВС на середине АВ отмечена точка М и через нее проведена прямая МК, параллельная АС. Докажите, что точка пересечения прямой К со стороной ВС лежит на середине ВС.

Решение:

Пусть точка пересечения прямой МК с ВС будет точка К. Проведем через нее прямую, параллельную АВ.

По определению, четырехугольник  AMKN – параллелограмм.Значит KN = АМ, но АМ = МВ, поэтому МВ = KN.

В силу параллельности KN и AB , как соответственные при параллельных прямых АВ и KN и секущей АС,  , как соответственные при параллельных прямых МК и АС и секущей АВ.

Поэтому .

Углы МВК и NKC также соответственные при параллельных KN и АВ и секущей ВС, поэтому эти углы равны т.е.  .

Поэтому треугольники МВК и KNC равны. Значит ВК = КС и МК = NC.  Т.к. ВК = КС, то точка К – середина ВС, что и требовалось доказать.

Итак:  1. Если через середину стороны треугольника провести прямую, параллельную третьей стороне, то она пройдет через середину второй стороны треугольника.

2. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника лежит на прямой, параллельной третьей стороне.

  (этот отрезок называется средней линией треугольника)

3. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине .

    ​Задача 2 

В прямоугольном треугольнике АВС угол B прямой.  На продолжении медианы ВМ треугольника АВС отмечена точка D так, что BМ : BD = 1 : 2. а) докажите, что четырехугольник ABCD – прямоугольник.           б)  Найдите длину медианы BМ, если  гипотенуза треугольника АВС равна 10.

Решение:

Начнем с условия: BM : BD = 1 : 2. Если ВМ = х, то BD = 2x, получаем, что BD = BM + MD , значит MD = BD – BM, т.е.

MD = 2x – x = x.  т.е. MD = BM. 

Соединяя точки А и С с точкой D отрезками, получаем четырехугольник ABCD, диагонали которого AC и BD в точке  пересечения М делятся пополам.  

По признаку, этот четырехугольник – параллелограмм. Но параллелограмм , имеющий прямой угол – прямоугольник. Т.О, ABCD – прямоугольник.

В прямоугольнике диагонали равны, поэтому AC = BD ( АС – гипотенуза). Значит BM = AM = MC = MD. Поэтому ВМ = 5.

ИТАК: в прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине.

Задача 3.   (Фалес)  В параллелограмме ABCD точка Е середина стороны АD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ  АС в точке Р.  АB=PD.  Докажите, что прямая ВЕ перпендикулярна диагонали АС. 

Задачи для самостоятельной работы смотрите в следующем разделе.