1. Уравнение плоскости.

а) уравнение плоскости заданной точкой М(x₀;y₀;z₀) и вектором p{a; b;c}, перпендикулярным  данной плоскости  p ≠ 0:

a(x – x₀) + b(y – y₀) + c(z – z₀) = 0  (4)

б)  Общее уравнение плоскости: ax + by + cz + d = 0(5)

в) Уравнение плоскости, проходящее через три  точки А(x₁;y₁;z₁), B(x₂;y₂;z₂) и C(x₃;y₃;z₃) 

Пусть М(x;y;z) –  произвольная точка плоскости. Тогда векторы AB, AC и AM компланарны. Запишем условие компланарности векторов

AM= aAB+ bAC  (6)  , где a и  b некоторые действительные числа, одновременно не равные 0.

AM{x – x₁; y – y₁; z – z₁}

 aAB+ bAC {a(x₂ – x₁)+b(x₃ – x₁);a(y₂ – y₁)+b(y₃ – y₁); a(z₂ – z₁)+b(z₃ – z₁)}

Поскольку равные векторы (см равенство (6)) имеют равные координаты, то получаем систему:

Решая, например систему первых двух уравнений и выражая a и b через x и y, а затем подставляя в третье уравнение получим уравнение плоскости, проходящее через три точки

ПРИМЕР:  В прямоугольной системе координат точки А, В и С заданы своими координатами: А(– 1; 2; 0), B(2; – 2; – 1), C(3;– 1; 2)

а) Напишите уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, б) запишите координаты нескольких векторов, перпендикулярных этой плоскости; в) Под каким углом к этой плоскости направлен вектор m{2; 2;– 2}

Решение:

а) На плоскости АВС возьмем произвольную точку М, координаты которой (x;y;z)

Поскольку все четыре точки лежат на плоскости, то векторы AM, AB,AC – компланарные.

Запишем условие компланарности этих векторов: AM= aAB+ bAC

AM{x +1;y–2;z}   AB{3;–4;–1}    AC{4;–3;2}  вектор  aAB+ bAC{3a+4b;–4a–3b;–a+2b}

Итак, поскольку вектор AM{x +1;y–2;z}   равен векторуaAB+ bAC{3a+4b;–4a–3b;–a+2b}, то их координаты равны:

б) p{11; 10; – 7} данный вектор, составлен из коэффициентов общего уравнения плоскости, поэтому данный вектор – перпендикулярен этой плоскости.

Тогда любой вектор, коллинеарный вектору р также будет перпендикулярен данной плоскости:   3р ; – 0,5р

3p{33;30;– 21};    – 0,5р{ – 5,5; – 5; 3,5}