Рассмотрим функцию y = f(x) записанную в виде: f(x) = 2cos²x + cosx – 1  . Требуется найти множество значений этой функции.

Решение:     I способ.

Обозначим  cosx = t  Тогда функция f(x) примет вид: y(t) = 2t² + t – 1,

функция y(t) определена на промежутке [ – 1 ; 1].

Множество значений функции y = f(x) совпадает с множеством значений функции   y = y(t) на отрезке [– 1; 1]

Поэтому найдем значения функции y(t) = 2t² + t – 1 на этом отрезке,

Поскольку данная функция является квадратичной с положительным ,  первым коэффициентом, то наименьшее значений этой функции достигается в точке , определяемой по формуле: 

( с графической точки зрения, график данной функции есть парабола, ветви которой направлены вверх и, понятно, что наименьшее значение достигается в вершине этой параболы)

t₀ =  – 0,25

Находим наименьшее значение функции: y(– 0,25) = – 9/8

 Наибольшее значение функции достигается на одном из концов отрезка [ – 1 ; 1].

                                   y( – 1) = 0    y(1) = 2

                                          Поэтому наибольшее значение функции равно 2

                             Итак: E(y)|_{[ – 1;1]} = E(f) = [ – 9/8; 2]

II способ:

Более подробно о проекте контрольно измерительных материалов смотрите : http://math-lehr.ru/index.php?razdel=Arhiv_materiali_proshlih_let&subrazdel=11_klass_algebra&subcat=trigonometricheskie_funktcii