ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Пусть функция y = f(x) дифференцируемая на некотором множестве D и задана графиком 

1. Касательной к графику функции y = f(x) в точке А(х_о ; f(x_o )) называется предельное положение секущей AM ( где М – произвольная точка графика) при бесконечном приближении точки М к точке А.

 На рисунке М, М₁, М₂ показывают приближение точки М к точке А. При этом секущая АМ вращается вокруг точки А и изменяется угол наклона этой секущей к положительному направлению оси ОХ.

Выделим одну из секущих:    Пусть это будет прямая АС.

А(x_o;y_o), C(x₁;y₁)  (помним, что в нашем случае y_o = f(x_o) )

Поскольку,при движении точки М, изменяется угол наклона секущей к положительному направлению оси ОХ, то величина угла зависит от абсциссы точки М, (на рисунке это точка С) поэтому    

Заметим, что по такой же формуле вычисляется угловой коэффициент прямой АС , поэтому

Говоря о предельном положении секущей,  то, выбирая точность приближения ( т.е. такое число , при котором  x  считается равным x_o  |x – x_o | <   и , при котором y считается равным y_o  |y – y_o | <   ) 

Можно записать следующее: 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ: 

2. Производная функции в точке x_o равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x_o, к положительному направлению оси Ох

3. Уравнение касательной.                                                                                                                                                           

Уравнение пучка прямых  проходящих через заданную точку А(x_o;y_o)  имеет вид:  y = k(x – x_o) + y_o  (*) . С учетом геометрического смысла производной , касательная к графику функции y = f(x)  проходит через точку (x_o ;f(x_o)) . Поэтому, подставляя в уравнение (*) вместо k  –  f’(x_o), а вместо y_o  –   f(x_o) , получим уравнение касательной :

           y = f’(x_o)(x – x_o) + f(x_o)​  (**)         

​4. Условие касания двух графиков.

Два графика функций y= f(x) и y = g(x) касаются друг друга в точке x_o, тогда и только тогда,  когда а) обе функции определены в этой точке; б) точка с абсциссой x_o является общей для двух графиков и в) оба графика имеют общую касательную, проходящую через эту точку.

Например: графики функций , показанных на рисунке касаются в точке x = 0.

Итак, условие касания двух графиков в точке x_o:

4a        Условие касания прямой y = kx + b графика функции y = f(x) в точке x_o.     

5. Условие параллельности прямой y = kx + b касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке x_o:                                                                               

В частности две прямые, заданные уравнениями  y = k₁x + b₁ и  y = k₂x + b₂ , будут параллельны, если  k₁ = k₂ и b₁  b₂

6.   Угол между двумя графиками.

Углом между двумя пересекающимися в точке с абсциссой x_o графиками, называется угол между касательными, проведенными к этим графикам в точке с абсциссой x_o.                                                                                                                                                      

Угол между графиками рассчитывается по формуле:      

где k₂ и k₁ – коэффициенты касательных  k₁ = g’(x_o) , k₂ = f’(x_o)

7. Условие перпендикулярности двух крафиков ( двух прямых y = k₁x + b₁ и  y = k₂x + b₂ ) . 

                                     k₁k₂  + 1 = 0 т.е.  k₁k₂ ​ =  – 1 

Например: прямые, заданные уравнениями  y = 4x – 7   и  y = – 0,25x + 8  будут перпендикулярными.