1.  Какие из утверждений  верны:

а) Параллелограмм, это  четырехугольник, у которого противоположные стороны  попарно равны.

б) В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны

в) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник – прямоугольник

г)   Один из углов прямоугольной трапеции равен 135 градусов, тогда наименьший угол трапеции будет равен 30 градусам

2. В параллелограмме  ABCD  АВ = 10, ВС = 12, угол между АВ и диагональю АС равен 30^о Из вершин B и D провели перпендикуляры BK и DM соответственно к прямой АС. а) Докажите, что BMDK параллелограмм; б) Найдите периметр параллелограмма и расстояния от вершин B и D до диагонали АС.

3.  Докажите, что в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов, из которых они проведены

4.  В треугольнике АВС через середину АВ, точку М проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая сторону АС в точке N. Докажите, а) что N – середина отрезка АС, б)  Докажите, что 2MN = BC

5. В треугольнике АВС точка Р – середина ВС. Через эту точку провели прямую PQ, параллельную АС и пересекающую отрезок АС в точке Q. Стороны  треугольника PBQ BQ = 4, PQ = 6, BP = 8. Найдите периметр треугольника АВС

6. Какие из утверждений неверны:

а)  Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник

б) Если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм

в) Если в прямоугольнике соединить середины всех сторон, то полученный четырехугольник будет ромбом

г)  Если в четырехугольнике две стороны параллельны, а две другие равны между собой, то этот четырехугольник является параллелограммом.

7. ABCD  параллелограмм. АВ = 4, Р_ABCD = 20, М  AD так, что АМ : МD = 2 : 1, . На середине отрезка ВМ отмечена точка Е. Луч АE пересекает ВС в точке K. а) Докажите, что АЕ – биссектриса угла BAD; б) Найдите длину отрезка ВМ; в) Докажите, что MKCD – параллелограмм.  

8. В четырехугольнике ABCD точки M, N, P, Q середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.                    а) Докажите, что MNPQ – параллелограмм; б) Найдите его периметр, если диагонали его равны 10 и 12.

 9. Докажите, что если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник ромб .

10. В четырехугольнике ABCD сумма углов , AB || CD. На сторонах ВС и AD  отмечены точки  P и Q соответственно так, что BP = QD. a) Докажите, что точки P и Q лежат на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника. b) Докажите, что  точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит на отрезке PQ.

11. В треугольнике АВС  АС = 12, через середину стороны АВ – точку М проведена прямая, параллельно АС и пересекающая сторону ВС в точке N.  Из вершины В проведена высота треугольника АВС, равная 8 и пересекающая MN в точке К, а АС в точке Р.  Найдите: а) площадь треугольника MBN;  б) Длину отрезка РК

12.  В четырехугольнике ABCD  = , диагональ BD проходит через середину отрезка АС и перпендикулярна ему. BC = 10. а) Докажите, что ABCD – ромб. б) Найдите расстояние от точки D до АС. 

13. (Фалес)  В параллелограмме ABCD точка Е середина стороны АD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ  АС в точке Р.  АB=PD.  Докажите, что прямая ВЕ перпендикулярна диагонали АС. 

14. На основании равнобедренного треугольника АВС  отмечена точка Р, на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и К так, что АМ = СК, АС = 2МК = 4АР. а) Докажите, что прямая МК параллельна АС; б) Найдите угол РМК; в) Найдите длину отрезка МР, если угол при вершине треугольника АВС равен 120^о, и АВ = 6.

15. Какие из утверждений неверны:

а)  Если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм

б) Если в четырехугольнике две стороны параллельны, а две другие равны между собой, то этот четырехугольник является параллелограммом.

в) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник

г)  Если в прямоугольнике соединить середины всех сторон, то полученный четырехугольник будет ромбом

16. В прямоугольнике ABCD на серединах сторон АВ и AD отмечены точки М и К соответственно. Из точки М проведен перпендикуляр МР на диагональ АС, а из точки К перпендикуляр КЕ на BD. Известно, что 4KE = AD.  а) Докажите, что угол BAD равен 60^о ; б) Найдите отношение  AP : PC

17.  Диагонали ромба MPHK пересекаются в точке О. На сторонах MK, KH, PH взяты точки  А, В, С соответственно так, что  AK = KB = PC. а) Докажите, что ОА = ОВ, б) докажите, что четырехугольник APCK – параллелограмм; в) найдите сумму углов РОС и МОА.

 18. Стороны  PK и MH четырехугольника MPKH  параллельны, углы HKM и PMK равны.  На стороне РК отметили точку А и через нее и точку пересечения диагоналей четырехугольника провели прямую, пересекающую сторону MH в точке В. Докажите, что AP = HB.